ECUADIF

El grupo ha funcionado de manera ininterrumpida en los últimos 10 años dedicando sus esfuerzos a la investigación de problemas que tiene como contexto ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales y estocásticas. Durante su existencia los profesores investigadores del grupo han dirigido 4 trabajos de grado, 5 tesis de maestría y dos tesis de doctorado.

Las fortalezas del grupo están tanto en la capacidad de analizar teóricamente modelos de ecuaciones diferenciales elípticas como en una fuerte capacidad computacional adquirida en la resolución de problemas aplicados.

Servir de apoyo a los desarrollos académicos de los programas de Matemáticas de la Universidad del Valle, tanto de Pregrado como de Posgrado. Servir de grupo consultor para empresas del sector privado que requieran asesoramiento en problemas de la competencia del grupo.

Profesores:

• Jaime Arango, Adriana Gómez

Estudiantes:

• Carlos Reyes (estudiante de Doctorado)
• Sandra Noreno (Estudiante de Pregrado)
• Juan Andrade (Estudiante de Pregrado)

Líneas de investigación

• Análisis cualitativo de soluciones de problemas no lineales elípticos
• Estabilidad de modelos estocásticos

Proyectos de investigación

• NUBES DE FARADAY Y EL METODO DE DESCENSO POR GRADIENTE CONJUGADO: Proyecto de Tesis de Doctoral a cargo del estudiante de Doctorado Carlos Reyes con la dirección de Jaime Arango.

• Arango, J., Jiménez, J. & Salazar, A. Critical points of symmetric solutions to planar quasilinear elliptic problems. Monatsh Math 191, 1–11 (2020). https://doi.org/10.1007/s00605-019-01342-1
• J. Arango and A. Delgado. Critical Points of Solutions to Semilinear Elliptic Problems in 3D Space. IAENG International Journal of Applied Mathematics, 49:4, IJAM_49_4_09, January 2020. URL={http://www.iaeng.org/IJAM/issues_v49/issue_4/IJAM_49_4_09.pdf }
• Jaime Arango and Carlos Reyes. Stochastic models for chladni figures. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 59(2):287–300, 2016. (revista A2 internacional)
• Jaime Arango, Adriana Gḿez y Andrés Salazar. Critical Points and curvature in circular clamped plates. Electronic J. Diff. Equ. Vol 2014, No. 218, pp 1-13 (revista A2 publicación internacional)
• Jaime Arango, Juan Jiménez y Andrés Salazar. Puntos críticos y simetrías en problemas elípticos. Revista Integraci ́on , 35(1):1–9, 2017 (revista B publicación nacional)
• J. Arango and A. Gómez and J. Jiménez. The concavity region of solutions to the Poisson equation in the plane, Complex Variables and Elliptic Equations. 2019 (revista A2 publicación internacional) doi = {10.1080/17476933.2018. URL = { https://doi.org/10.1080/ }, eprint = { https://doi.org/10.1080/}

Te invitamos a descargar algunas simulaciones numéricas llevadas a cabo por estudiantes y profesores del grupo de investigación:

• Dispersión R: Es la solución $u(t,x)$ en $t= 0.005$ de un modelo de dispersión lineal del tipo $u_t + u_{xxx}=0$ en los números reales, partiendo de un dato inicial dibujado en azul. La solución resulta ser infinitas veces diferenciable para todo tiempo $t>0$
• Dispersión S1: Es la solución $u(t,x)$ en $t= 1.1$ de un modelo de dispersión lineal del tipo $u_t + u_{xxx}=0$ en el circulo unitario S1. Si el dato einicial es diferenciable, la solución resulta ser diferenciable para todo tiempo $t>0$
• Parameter clouds: Cada proyección 2-dimensional del espacio de parámetros durante el entrena-miento con SGD (método de descenso por gradiente estocástico). Cabe resaltar como el ruido del método se hace más relevante a medida que el algoritmo converge.
• Xor samples: Muestras de la clasificación de una función XOR con ruido. Los puntos de la muestra se etiquetan con amarillo o morado. Se trata de construir algoritmos que aprendan de la muestra de entrenamiento para predecir un punto arbitrario
• Xor training: Precisión vs. iteraciones en el aprendizaje en una red neuronal sometida a entre-namiento con SGD (método de descenso por gradiente estocástico). Se observa como algunos caminos pueden saltar de un meseta a otra por encima.
• Vídeo de simulación: Es una animación en el tiempo de la solución de $u_t+ u_{xxx}=0$ en el círculo unitario $S1$ con un dato inicial constante a trozos. Sorprendentemente la solución es constante a trozos para valores del tiempo que son múltiplos racionales de $\pi$, pero es continua y diferenciable en ninguna parte si el tiempo no cumple la condición señalada. Es decir, las soluciones tiene estructura fractal para ciertos valores del tiempo. Este fenómeno se conoce como Cuantización dispersiva, y es análogo al llamado efecto de Talbot en óptica.